Khảo sát vẽ đồ thị:y=\(-x^2+4x-3\)
a)y=\(f\left(\left|x\right|\right)\)
b)y=\(\left|f\left(x\right)\right|\)
Khảo sát vẽ đồ thị:y=\(x^2-2x\)
a)y=\(f\left(\left|x\right|\right)\)
b)y=\(\left|f\left(x\right)\right|\)
a) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x-3}{x+2}\)
b) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\left|\dfrac{2x-3}{x+2}\right|\)
c) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x-3}{\left|x+2\right|}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\).
a) Vẽ \(\left( C \right)\) và tính \(f'\left( 1 \right)\).
b) Vẽ đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và có hệ số góc bằng \(f'\left( 1 \right)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(\left( C \right)\).
a)
\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 1} \right) = 1\end{array}\)
b) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có hệ số góc bằng \(k = f'\left( 1 \right) = 1\) là: \(y - \frac{1}{2} = 1\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = x - 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = x - \frac{1}{2}\).
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại duy nhất điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\).
Cho hàm số f(x) = \(\left\{{}\begin{matrix}x^2sin\dfrac{1}{x}\left(x\ne0\right)\\0\left(x=0\right)\end{matrix}\right.\)
a, Tính \(g\left(x\right)=\lim\limits_{t\rightarrow0}=\dfrac{f\left(x+t\right)-f\left(x-2t\right)}{2t}\) (x thuộc R)
b, Khảo sát sự tồn tại của g'(x) với x thuộc R
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2-4x+3\). Tìm m nguyên sao cho \(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-2\right)f\left(\left|x\right|\right)+m-3=0\) có 6 nghiệm phân biệt
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in\left[0;20\right]\) để hàm số \(g\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-m\right|\) có 9 điểm cực trị?
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
Giải chi tiết cho mình bài này với ạ, mình cảm ơn nhiều♥
Đặt \(h\left(x\right)=f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2f'\left(x\right)\left[f\left(x\right)-1\right]\)
\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f'\left(x\right)=0\\f\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\)
Từ đồ thị ta thấy \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm (do \(f\left(x\right)\) có 2 cực trị) và \(y=1\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 3 điểm
\(\Rightarrow h'\left(x\right)=0\) có 5 nghiệm
\(\Rightarrow\) Hàm \(g\left(x\right)\) có 9 cực trị khi \(f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-m=0\) có 4 nghiệm không trùng với nghiệm của \(h'\left(x\right)=0\)
TH1: \(m=0\Rightarrow f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=0\\f\left(x\right)=2\end{matrix}\right.\)
\(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm, trong đó 1 nghiệm trùng với \(f'\left(x\right)=0\) nên chỉ tính 1 nghiệm, \(f\left(x\right)=2\) có 3 nghiệm \(\Rightarrow f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=0\) có 4 nghiệm ko trùng \(h'\left(x\right)=0\) (thỏa mãn)
TH2: \(m>0\), đặt \(k=f\left(x\right)\Rightarrow k^2-2k-m=0\) (1) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu \(k_1< 0< k_2\) do \(c=-m< 0\)
Từ đồ thị ta thấy \(f\left(x\right)=k_1\) luôn có đúng 1 nghiệm
Do đó, \(f\left(x\right)=k_2\) phải có 3 nghiệm phân biệt đồng thời \(k_2\ne1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< k_2< 4\\k_2\ne1\end{matrix}\right.\)
(\(k_2\) là nghiệm dương của (1) nên \(k_2=1+\sqrt{m+1}\))
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< 1+\sqrt{m+1}< 4\\1+\sqrt{m+1}\ne1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< 8\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\)
Kết hợp lại ta được \(m=\left\{0;1;...;7\right\}\) có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn
Quan sát đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)=-x^2\) trên \(R\) (H.6.5).
Hỏi:
a) Giá trị của \(f\left(x\right)\) tăng hay giảm khi x tăng trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\)?
b) Giá trị của \(f\left(x\right)\) tăng hay giảm khi x tăng trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)?
Dựa vào đồ thị, ta thấy:
a) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) , giá trị của f(x) tăng
b) Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) , giá trị của f(x) giảm
Đề khảo sát năng lực lớp 12, Sở GD-ĐT Hà Nội, mã đề 105:
Câu 46. Cho hàm số \(f\left(x\right)=x^3-3x\). Số hình vuông có bốn đỉnh nằm trên đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) là?
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2;6;0) và mặt phẳng (a): 3x + 4y + 89 = 0. Đường thẳng d thay đổi nằm trên mặt phẳng (Oxy) và luôn đi qua điểm A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M (4;-2;3) trên đường thẳng d. Khoảng cách nhỏ nhất từ H đến mặt phẳng (a) bằng?
A. 15 B. \(\dfrac{68}{5}\) C. 20 D. \(\dfrac{93}{5}\)
46.
Giả sử hình vuông ABCD tâm I, do I là tâm đối xứng hình vuông nên là tâm đối xứng đồ thị
\(\Rightarrow\) I là điểm uốn có tọa độ \(I\left(0;0\right)\) của hàm số
Do A đối xứng C, B đối xứng D qua I (đồng thời là gốc tọa độ) nên trong các cặp điểm AC và BD luôn có 2 điểm mang hoành độ dương và 2 điểm mang hoành độ âm, ko mất tính tổng quát, giả sử A và B mang hoành độ dương. Gọi \(A\left(a;a^3-3a\right)\) ; \(B\left(b;b^3-3b\right)\) với \(b>a>0\)
\(\Rightarrow C\left(-a;-a^3+3a\right)\) ; \(D\left(-b;-b^3+3b\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{CA}=\left(2a;2a^3-6a\right)\\\overrightarrow{DB}=\left(2b;2b^3-6b\right)\end{matrix}\right.\)
ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BD\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+\left(a^3-3a\right)^2=b^2+\left(b^3-3b\right)^2\\ab+\left(a^3-3a\right)\left(b^3-3b\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+a^2\left(a^2-3\right)^2=b^2+b^2\left(b^2-3\right)^2\\1+\left(a^2-3\right)\left(b^2-3\right)=0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-3=x>-3\\b^2-3=y>-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3+x^2\left(x+3\right)=y+3+y^2\left(y+3\right)\\xy=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3x+3y+1\right)=0\\xy=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)+2=0\\xy=-1\end{matrix}\right.\) (do \(b>a>0\Rightarrow x\ne y\))
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-1;xy=-1\\x+y=-2;xy=-1\end{matrix}\right.\)
Sử dụng Viet đảo ta được
\(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right);\left(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right);\left(-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right)\)
Do \(y>x\) nên chỉ có 2 cặp thỏa mãn. Mỗi giá trị x; y cho đúng 1 giá trị a; b dương tương ứng, nên có 2 cặp A; B thỏa mãn \(\Rightarrow\) có 2 hình vuông thỏa mãn (thực ra có thể tìm chính xác tọa độ A; B nhưng nó hơi xấu, ví dụ ứng với \(x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a^2=x+3=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}\) ko rút gọn được
47.
- Nhận xét quan trọng: hai mặt phẳng (a) và Oxy vuông góc (thấy ngay bằng dấu hiệu cả hai đều "khuyết z")
Từ nhận xét trên, ta thấy khoảng cách từ điểm H thuộc Oxy tới (a) chính là khoảng cách từ H tới d, với d là giao tuyến của (a) và mp Oxy.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M xuống Oxy \(\Rightarrow MK\perp Oxy\) với \(K\left(4;-2;0\right)\)
\(\Rightarrow MK\perp d\) ; mà \(d\perp MH\) theo giả thiết \(\Rightarrow d\perp\left(MHK\right)\)
\(\Rightarrow d\perp KH\) hay tam giác AHK vuông tại H
\(\Rightarrow\) Quỹ tích H là đường tròn đường kính AK thuộc mặt phẳng Oxy
Bây giở ta có 1 bài toán hình học phẳng đơn giản : cho 1 đường thằng cố định nằm ngoài đường tròn (O), tìm điểm M thuộc (O) sao cho khoảng cách từ M tới d đạt min. Lời giải đơn giản là qua tâm O đường tròn vẽ đường thẳng d' vuông góc d, d' cắt (O) tại A (với A nằm giữa O và d), khi đó khoảng cách từ A tới d sẽ ngắn nhất.
Trong bài toán này, để khỏi cần tính toán nhiều thì ta tính nhanh khoảng cách nhỏ nhất như sau:
Gọi I là trung điểm AK \(\Rightarrow I\left(1;2;0\right)\)
\(\Rightarrow d\left(H;\left(\alpha\right)\right)_{min}=d\left(I;\left(\alpha\right)\right)-\dfrac{AK}{2}\) (có biết tại sao có biểu thức này không?) \(=15\)
công nhận đề Hà Nội nay hay quá, chưa thấy đề nào hay như vậy luôn
mọi người giúp mình với! mình cần gấp,thanks
bài 1: cho hàm số f(n) xác định trên N thỏa:
f(n)=n-3 nếu \(n\ge1000\);
f(n)=\(f\left[f\left(n+5\right)\right]\) nếu n<1000
CMR: \(\frac{f\left(30\right)+f\left(4\right)}{2}+f\left(95\right)=1995\)
Bài 2:
a,Vẽ đồ thị hs y=f(x)=x-|x|
b, Vẽ ĐTHS y=\(\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+2x+1}\)